Imagerie computationnelle

Ce cours porte sur la conception de méthodes numériques dédiées à la résolution de problèmes inverses en imagerie. Les étudiants seront amenés à explorer un large éventail d’outils intervenant à chaque étape de cette démarche : depuis la modélisation des processus de formation de l’image, jusqu’à la formalisation du problème inverse, en passant par les enjeux liés à la discrétisation. Une attention particulière sera portée aux liens entre ces différentes composantes et à la manière dont elles s’articulent pour concevoir des méthodes à la fois robustes et efficaces.

L'enseignement est constitué de 6 séances de cours (avec du temps consacré à des exercices) ainsi que 2 séances de BE. Le plan du cours est le suivant.

1 Physique de l’imagerie

     1.1 Un modèle direct générique

     1.2 Quelques notions de physique (Diffraction, transformée Rayon-X)

     1.3 La numérisation

2 Du monde continu au discret

     2.1 Principe général

     2.2 Produits matrice-vecteur efficaces (matrices creuses / à bandes / Toeplitz / rang faible)

     2.3 Erreurs de discrétisation

3 Problèmes inverses mal-posés

     3.1 L’échec des inversions directes

     3.2 Inverses généralisées

     3.3 Stabilisation de l’inversion (filtrage de systèmes singuliers)

4 Formulation bayésienne d’un problème inverse

     4.1 Le point de vue de la statistique paramétrique (MAP)

     4.2 Exemples de vraisemblance des observations

     4.3 Approximations des attaches aux données (l2-pondérée, transformations non-linéaires, pré/post-traitement)

5 Exemples de fonctions de régularisation

         5.1 Tikhonov

         5.2 Variation Totale

         5.3 Parcimonie dans une base

Algèbre, Analyse, Statistiques, Introduction aux problèmes inverses, Optimisation.